Operator modelujący jednorodny transport ciepła \( {\cal L_1}(u) = \Delta u = \frac{\partial^2 u(x,y;t)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u(x,y;t)}{\partial y^2} \). W tym przypadku warunek początkowy podaje nam informacje o rozkładzie temperatury w modelowanym obszarze w początkowej chwili symulacji. Warunki brzegowe okreslają nam z koleji temperaturę na brzegu obszaru, lub prędkosć zmian ciepła na brzegu obszaru (jak szybko ciepło ucieka z naszego obszaru, lub jak szybko prędkosć dopływa do naszego obszaru), lub strumień ciepła zależny od różnicy temperatur, lub warunek brzegowy opisujący zjawisko radiacji. Funkcja prawej strony \( {\cal L }\left(u\left(x,y;t\right)\right) = {\cal F }(x,y;t) \) w zależnosci od przyjmowania wartosci dodatnich lub ujemnych, modelować może grzałkę lub chłodnicę umieszczoną w rozważanym obszarze, która to lokalnie dostarcza ciepła (zwiększa temperaturę) lub obniża temperaturę poprzez mechanizm chłodzenia (odpływu ciepła).

Operator modelujący dyfuzję przez materiał o określonych właściwościach \( {\cal L_2}(u) = \nabla \left (K \nabla u\right) = \frac{\partial }{\partial x} \left( K(x,y;t) \frac{\partial u(x,y;t) }{\partial x}\right) + \frac{\partial }{\partial y} \left( K(x,y;t) \frac{\partial u(x,y;t) }{\partial y}\right) \). Tutaj stan początkowy podaje nam informacje o początkowej koncetracji substancji której dyfuzję w zadanym obszarze symulujemy. Dyfuzja jest szczególnym przypadkiem równań transportu ciepła, i możliwe są również analogiczne rodzaje warunków brzegowych. Współczynnik dyfuzji \( {\cal R}^2 \times [0,T] \ni (x,y)\times t \rightarrow K(x,y;t) \in {\cal R}^{2\times 2} \) może być nawet funkcją o wartościach macierzowych. Warunek brzegowy opisuje nam koncentracje na brzegu lub prędkosć "uciekania" lub "napływania" rozważanej substancji, lub strumień dyfuzji w zależności od różnicy stężeń, lub zjawisko radiacji. Funkcja prawej strony \( {\cal L }\left(u\left(x,y;t\right)\right) = {\cal F }(x,y;t) \) oznacza tutaj źródło substancji dyfundującej, lub jej ubytek (zasysanie).

Przepływ niejednorodny w ośrodku heterogenicznym \( {\cal L_3 }(u) = \nabla \left( K exp(\mu u) \right) \nabla u = \frac{\partial }{\partial x} \left( K(x,y;t) exp(\mu u(x,y;t) ) \frac{\partial u(x,y;t) }{\partial x}\right) + \frac{\partial }{\partial y} \left( K(x,y;t) exp(\mu u(x,y;t) )\frac{\partial u(x,y;t) }{\partial y}\right) \). W tym przypadku modelujemy pole ciśnienia w obszarze geologicznym, do którego pompujemy ciecz pod cisnieniem. Funkcja prawej strony, przyjmując wartosci dodatnie, modeluje umiejscowienie pompy pompującej ciecz pod cisnieniem, a przyjmując wartosci ujemne, modeluje ona pompe ssącą, używaną na przykład podczas procesu wydobycia ropy naftowej. Warunek początkowy oznacza tutaj początkowy rozkład pola cisnienia w modelowanym obszarze. Warunek brzegowy oznacza wartosć lub zmiany cisnienia na brzegu modelowanego obszaru.

Propagacja zanieczyszczeń \( {\cal L_4 }(u) = \beta \cdot \nabla u + \nabla \cdot (K \nabla u) = \\= \frac{\partial }{\partial x} \left( K(x,y;t) \frac{\partial u(x,y;t) }{\partial x} \right) + \frac{\partial }{\partial y} \left( K(x,y;t) \frac{\partial u(x,y;t) }{\partial y }\right) + \beta_x(x,y;t) \frac{\partial u(x,y;t)}{\partial x } + \beta_y(x,y;t) \frac{u(x,y;t) }{\partial y } \). W przykładzie tym modelujemy koncentracje zanieczyszczeń w zadanym obszarze. Dodatnia wartosć funkcji prawej strony \( {\cal L }\left(u\left(x,y;t\right)\right) = {\cal F }(x,y,z) \) oznacza źródło zanieczyszczeń (np. komin), ujemna wartosć funkcji prawej strony oznacza pompę ssącą zanieczyszczenia (na przykład takie pompy umieszczane na placach w miastach które odsysają zanieczyszczenie z atmosfery). Stan początkowy oznacza tutaj początkową koncentracje zanieczyszczeń w modelowanym obszarze. Warunki brzegowe oznaczają koncentracje zanieczyszczeń na brzegu, lub prędkosć wwiewania zanieczyszczeń spoza obszaru, lub oddziaływanie pola zanieczyszczeń z podłożem.

Niestacjonarne nieliniowe równania przepływu dla płynów nieściśliwych, zwane równaniami Naviera-Stokesa, to równanie wektorowe, w którym poszukiwane jest pole wektorowe prędkości i pole skalarne ciśnienia \( {\cal L_5}({\bf u}, p) = \left( \frac{\partial {\bf u}}{\partial t } - \mu \Delta {\bf u} + ({\bf u} \cdot \nabla ) {\bf u} + \nabla p = f; div p = 0 \right) \). Typowy modelowy problem w którym rozwiązujemy równania Naviera-Stokesa to na przykład przepływ w obszarze w kształcie kwadratu, wymuszony nurtem rzeki płynącej wzdłuż górnego brzegu obszaru. Człon nieliniowy w równaniach niestacjonarnych można traktować "explicite". \( {\bf u}_{t+1} -\mu \Delta {\bf u}_{t+1 } + \nabla p_{t+1 } = f - ({\bf u}_t \cdot \nabla ) {\bf u}_t \). Często używanymi algorytmami rozwiązywania równań Naviera-Stokesa są algorytmu korekcji ciśnienia zwane SIMPLE, SIMPLEC lub PISO. Nowoczesne schematy numeryczne stosowane w symulacjach równań Naviera-Stokesa znaleźć można w pracy [1].